# Multiplikation ganzer Zahlen

# meldet Überlauf bei der Multiplikation:
  nonreturning_function(local, mal_ueberlauf, (void));
  local void mal_ueberlauf()
    { fehler(arithmetic_error,
             GETTEXT("overflow during multiplication of large numbers")
            );
    }

# karatsuba_threshold = Länge, ab der die Karatsuba-Multiplikation bevorzugt
# wird. Der Break-Even-Point bestimmt sich aus Zeitmessungen.
# Als Test dient (progn (time (! 5000)) nil), das viele kleine und einige
# ganz große Multiplikationen durchführt. Miss die Runtime.
# Unter Linux mit einem 80486:      Auf einer Sparc 2:
# threshold  time in 0.01 sec.
#      5        125
#      6        116
#      7        107
#      8        101
#      9         99
#     10         98
#     11         97
#     12         96
#     13         97
#     14         97
#     15         97
#     16         98
#     17         98
#     18         98
#     19         98
#     20         99
#     25        103
#     30        109
#     40        115
#     50        122
#     70        132
#    100        151
#    150        164
#    250        183
#    500        203
#   1000        203
# Das Optimum scheint bei karatsuba_threshold = 12 zu liegen.
# Da das Optimum aber vom Verhältnis
#         Zeit für uintD-Multiplikation / Zeit für uintD-Addition
# abhängt und die gemessenen Zeiten auf eine Unterschreitung des Optimums
# empfindlicher reagieren als auf eine Überschreitung des Optimums,
# sind wir vorsichtig und wählen einen Wert etwas über dem Optimum:
#define karatsuba_threshold  16

# Quadriert eine Unsigned-Digit-sequence.
# UDS_square_UDS(len1,LSDptr1, MSDptr=,len=,LSDptr=);
# quadriert die UDS ../len1/LSDptr1.
# Dabei sollte len1>0 sein.
# Ergebnis ist die UDS MSDptr/len/LSDptr, mit len=2*len1, im Stack.
# Dabei wird num_stack erniedrigt.
  #define UDS_square_UDS(len1,LSDptr1, MSDptr_zuweisung,len_zuweisung,LSDptr_zuweisung)  \
    { var uintL len_from_UDSmal = 2*(uintL)(len1);                                            \
      var uintD* LSDptr_from_UDSmal;                                                          \
      if ((intWCsize < 32) && (len_from_UDSmal > (uintL)(bitc(intWCsize)-1))) { RESTORE_NUM_STACK; mal_ueberlauf(); } \
      unused (len_zuweisung len_from_UDSmal);                                                 \
      num_stack_need(len_from_UDSmal,MSDptr_zuweisung,LSDptr_zuweisung LSDptr_from_UDSmal =); \
      square_2loop_down((LSDptr1),(len1),LSDptr_from_UDSmal);                                 \
    }

# Quadrier-Doppelschleife:
# Quadriert eine UDS und legt das Ergebnis in einer anderen UDS ab.
# square_2loop_down(sourceptr,len,destptr);
# quadriert die UDS  sourceptr[-len..-1]  (len1>0)
# und legt das Ergebnis in der UDS  destptr[-2*len..-1]  ab.
# Unterhalb von destptr werden 2*len Digits Platz benötigt.
  local void square_2loop_down (const uintD* sourceptr, uintC len,
                                uintD* destptr);
  local void square_2bigloop_down (const uintD* sourceptr, uintC len,
                                   uintD* destptr);
  local void square_2loop_down(sourceptr,len,destptr)
    var const uintD* sourceptr;
    var uintC len;
    var uintD* destptr;
    { if (len==1)
        { var uintD digit = sourceptr[-1];
          #if HAVE_DD
          var uintDD prod = muluD(digit,digit);
          destptr[-1] = lowD(prod); destptr[-2] = highD(prod);
          #else
          muluD(digit,digit, destptr[-2] =, destptr[-1] =);
          #endif
        }
      elif (len < karatsuba_threshold)
        # Multiplikation nach Schulmethode
        { # Gemischte Produkte:
          # 2*(  x[n-1..1] * x[0] * b^1
          #    + x[n-1..2] * x[1] * b^3
          #    + ...
          #    + x[n-1..n-1] * x[n-2] * b^(2*n-3))
          { var const uintD* sourceptr1 = sourceptr;
            var uintD* destptr2 = destptr;
            *--destptr2 = 0;
           {var uintC count = len-1;
            { var uintD digit = *--sourceptr1;
              mulu_loop_down(digit,sourceptr1,destptr2,count);
            }
            { var uintD* destptr1 = destptr - (len+1);
              while (--count > 0)
                { destptr2 -= 2;
                 {var uintD digit = *--sourceptr1;
                  var uintD carry = muluadd_loop_down(digit,sourceptr1,destptr2,count);
                  *--destptr1 = carry;
                }}
             {var uintD carry = shift1left_loop_down(destptr-1,2*len-2);
              destptr1[-1] = (carry==0 ? 0 : 1);
          }}}}
          # Quadrate:
          len = 2*len;
          do { len -= 2;
              {var uintD digit = *--sourceptr;
               #if HAVE_DD
               var uintDD prod = muluD(digit,digit);
               var uintDD accu = highlowDD(destptr[-2],destptr[-1]);
               accu += prod;
               destptr[-1] = lowD(accu); destptr[-2] = highD(accu);
               destptr -= 2;
               if (accu < prod) { inc_loop_down(destptr,len); }
               #else
               var uintD hi;
               var uintD lo;
               var uintD tmp;
               muluD(digit,digit, hi=,lo=);
               tmp = destptr[-1] + lo; destptr[-1] = tmp;
               if (tmp < lo) hi++;
               tmp = destptr[-2] + hi; destptr[-2] = tmp;
               destptr -= 2;
               if (tmp < hi) { inc_loop_down(destptr,len); }
               #endif
             }} while (len > 0);
        }
      else # len groß
        # Karatsuba-Quadrierung
        # (ausgelagert, um die eigentliche Quadrierfunktion nicht
        # durch zu viele Registervariablen zu belasten):
        square_2bigloop_down(sourceptr,len,destptr);
    }
  local void square_2bigloop_down(sourceptr,len,destptr)
    var const uintD* sourceptr;
    var uintC len;
    var uintD* destptr;
    # Karatsuba-Quadrierung
    { # Es ist 2 <= len.
      SAVE_NUM_STACK
      var uintC prod_len = 2*len;
      var uintD* prod_LSDptr = destptr;
      var uintC k_hi = floor(len,2); # Länge der High-Teile: floor(len/2) >0
      var uintC k_lo = len - k_hi; # Länge der Low-Teile: ceiling(len/2) >0
      # Es gilt k_hi <= k_lo <= len, k_lo + k_hi = len.
      # Summe x1+x0 berechnen:
      var uintD* sum_MSDptr;
      var uintC sum_len = k_lo; # = max(k_lo,k_hi)
      var uintD* sum_LSDptr;
      num_stack_need(sum_len+1,sum_MSDptr=,sum_LSDptr=);
      sum_MSDptr++; # 1 Digit vorne als Reserve
      {var uintD carry = # Hauptteile von x1 und x0 addieren:
         add_loop_down(sourceptr-k_lo,sourceptr,sum_LSDptr,k_hi);
       if (!(k_lo==k_hi))
         # noch k_lo-k_hi = 1 Digits abzulegen
         { sum_MSDptr[0] = sourceptr[-(uintP)k_lo]; # = sourceptr[-(uintP)k_hi-1]
           if (!(carry==0)) { if (++(sum_MSDptr[0]) == 0) carry=1; else carry=0; }
         }
       if (carry) { *--sum_MSDptr = 1; sum_len++; }
      }
      # Platz für Produkte x0*x0, x1*x1:
      { var uintC prodhi_len = 2*k_hi;
        var uintD* prodhi_LSDptr = prod_LSDptr - 2*k_lo;
        # prod_MSDptr/2*len/prod_LSDptr wird zuerst die beiden
        # Produkte x1*x1 in prod_MSDptr/2*k_hi/prodhi_LSDptr
        #      und x0*x0 in prodhi_LSDptr/2*k_lo/prod_LSDptr,
        # dann das Produkt (b^k*x1+x0)*(b^k*x1+x0) enthalten.
        # Platz fürs Produkt (x1+x0)*(x1+x0) belegen:
       {var uintD* prodmid_MSDptr;
        var uintC prodmid_len = 2*sum_len;
        var uintD* prodmid_LSDptr;
        num_stack_need(prodmid_len,prodmid_MSDptr=,prodmid_LSDptr=);
        # Produkt (x1+x0)*(x1+x0) berechnen:
        square_2loop_down(sum_LSDptr,sum_len,prodmid_LSDptr);
        # Das Produkt beansprucht  2*k_lo + (0 oder 1) <= 2*sum_len = prodmid_len  Digits.
        # Produkt x0*x0 berechnen:
        square_2loop_down(sourceptr,k_lo,prod_LSDptr);
        # Produkt x1*x1 berechnen:
        square_2loop_down(sourceptr-k_lo,k_hi,prodhi_LSDptr);
        # Und x1*x1 abziehen:
        {var uintD carry =
           subfrom_loop_down(prodhi_LSDptr,prodmid_LSDptr,prodhi_len);
         # Carry um maximal prodmid_len-prodhi_len Digits weitertragen:
         if (!(carry==0))
           { dec_loop_down(prodmid_LSDptr-prodhi_len,prodmid_len-prodhi_len); }
        }
        # Und x0*x0 abziehen:
        {var uintD carry =
           subfrom_loop_down(prod_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_lo);
         # Falls Carry: Produkt beansprucht 2*k_lo+1 Digits.
         # Carry um maximal 1 Digit weitertragen:
         if (!(carry==0)) { prodmid_LSDptr[-2*(uintP)k_lo-1] -= 1; }
        }
        # prodmid_LSDptr[-prodmid_len..-1] enthält nun 2*x0*x1.
        # Dies ist < 2 * b^k_lo * b^k_hi = 2 * b^len,
        # passt also in len+1 Digits.
        # prodmid_len, wenn möglich, um maximal 2 verkleinern:
        # (benutzt prodmid_len >= 2*k_lo >= len >= 2)
        if (prodmid_MSDptr[0]==0)
          { prodmid_len--;
            if (prodmid_MSDptr[1]==0) { prodmid_len--; }
          }
        # Nun ist k_lo+prodmid_len <= 2*len .
        # (Denn es war prodmid_len = 2*sum_len <= 2*(k_lo+1)
        #  <= len+3, und nach 2-maliger Verkleinerung jedenfalls
        #  prodmid_len <= len+1. Wegen k_lo < len also
        #  k_lo + prodmid_len <= (len-1)+(len+1) = 2*len.)
        # prodmid*b^k = 2*x0*x1*b^k zu prod = x1*x1*b^(2*k) + x0*x0 addieren:
        {var uintD carry =
           addto_loop_down(prodmid_LSDptr,prod_LSDptr-k_lo,prodmid_len);
         if (!(carry==0))
           { inc_loop_down(prod_LSDptr-(k_lo+prodmid_len),prod_len-(k_lo+prodmid_len)); }
      }}}
      RESTORE_NUM_STACK
    }

# (* x x), wo x ein Integer ist. Ergebnis Integer.
# can trigger GC
  # Methode:
  # x=0 -> Ergebnis 0
  # x Fixnum -> direkt quadrieren
  # sonst: zu WS machen, quadrieren.
  local object I_square_I (object x);
  local object I_square_I(x)
    var object x;
    { if (eq(x,Fixnum_0))
        { return Fixnum_0; }
      if (I_fixnump(x))
        { var sint32 x_ = FN_to_L(x);
         #if (oint_data_len+1 > intLsize)
          # nur falls x ein Integer mit höchstens 32 Bit ist:
          if (((sint32)FN_sign(x) ^ x_) >= 0)
         #endif
         {# Wert direkt quadrieren:
          var uint32 hi;
          var uint32 lo;
          mulu32((uint32)x_,(uint32)x_,hi=,lo=); # erst unsigned multiplizieren
          if (x_ < 0) { hi -= 2*(uint32)x_; } # dann Korrektur für Vorzeichen
          return L2_to_I(hi,lo);
        }}
     {var uintD* xMSDptr;
      var uintC xlen;
      var uintD* xLSDptr;
      var uintD* ergMSDptr;
      var uintC erglen;
      var uintD* ergLSDptr;
      I_to_NDS_nocopy(x, xMSDptr = , xlen = , xLSDptr = );
      erglen = 2*xlen;
      if ((intWCsize < 32) && (erglen > (uintL)(bitc(intWCsize)-1))) { mal_ueberlauf(); }
      {SAVE_NUM_STACK # num_stack retten
       num_stack_need(erglen, ergMSDptr = , ergLSDptr = );
       begin_arith_call();
       { var uintC len = xlen;
         var uintD MSD = xMSDptr[0];
         if (MSD == 0) { ergMSDptr[0] = 0; ergMSDptr[1] = 0; len--; }
         square_2loop_down(xLSDptr,len,ergLSDptr);
         if ((sintD)MSD < 0)
           { subfrom_loop_down(xLSDptr,ergLSDptr-xlen,xlen);
             subfrom_loop_down(xLSDptr,ergLSDptr-xlen,xlen);
       }   }
       end_arith_call();
       {var object result = DS_to_I(ergMSDptr,erglen);
        RESTORE_NUM_STACK # num_stack zurück
        return result;
    }}}}

# Multipliziert zwei Unsigned-Digit-sequences.
# UDS_UDS_mal_UDS(len1,LSDptr1, len2,LSDptr2, MSDptr=,len=,LSDptr=);
# multipliziert die UDS ../len1/LSDptr1 und ../len2/LSDptr2.
# Dabei sollte len1>0 und len2>0 sein.
# Ergebnis ist die UDS MSDptr/len/LSDptr, mit len=len1+len2, im Stack.
# Dabei wird num_stack erniedrigt.
  #define UDS_UDS_mal_UDS(len1,LSDptr1,len2,LSDptr2, MSDptr_zuweisung,len_zuweisung,LSDptr_zuweisung)  \
    { var uintL len_from_UDSmal = (uintL)(len1) + (uintL)(len2);                              \
      var uintD* LSDptr_from_UDSmal;                                                          \
      if ((intWCsize < 32) && (len_from_UDSmal > (uintL)(bitc(intWCsize)-1))) { RESTORE_NUM_STACK; mal_ueberlauf(); } \
      unused (len_zuweisung len_from_UDSmal);                                                 \
      num_stack_need(len_from_UDSmal,MSDptr_zuweisung,LSDptr_zuweisung LSDptr_from_UDSmal =); \
      mulu_2loop_down((LSDptr1),(len1),(LSDptr2),(len2),LSDptr_from_UDSmal);                  \
    }

# Multiplikations-Doppelschleife:
# Multipliziert zwei UDS und legt das Ergebnis in einer dritten UDS ab.
# mulu_2loop_down(sourceptr1,len1,sourceptr2,len2,destptr);
# multipliziert die UDS  sourceptr1[-len1..-1]  (len1>0)
#           mit der UDS  sourceptr2[-len1..-1]  (len2>0)
# und legt das Ergebnis in der UDS  destptr[-len..-1]  (len=len1+len2) ab.
# Unterhalb von destptr werden len Digits Platz benötigt.
  local void mulu_2loop_down (const uintD* sourceptr1, uintC len1,
                              const uintD* sourceptr2, uintC len2,
                              uintD* destptr);
  local void mulu_2bigloop_down (const uintD* sourceptr1, uintC len1,
                                 const uintD* sourceptr2, uintC len2,
                                 uintD* destptr);
  local void mulu_2loop_down(sourceptr1,len1,sourceptr2,len2,destptr)
    var const uintD* sourceptr1;
    var uintC len1;
    var const uintD* sourceptr2;
    var uintC len2;
    var uintD* destptr;
    { # len1<=len2 erzwingen:
      if (len1>len2)
        {{var const uintD* temp;
          temp = sourceptr1; sourceptr1 = sourceptr2; sourceptr2 = temp;
         }
         {var uintC temp;
          temp = len1; len1 = len2; len2 = temp;
        }}
      if (len1==1)
        # nur eine Einfachschleife
        { mulu_loop_down(*--sourceptr1,sourceptr2,destptr,len2); }
      elif (len1 < karatsuba_threshold)
        # Multiplikation nach Schulmethode
        { # len2 Digits auf 0 setzen:
          var uintD* destptr2 = clear_loop_down(destptr,len2);
          # äußere Schleife läuft über source1 :
          dotimespC(len1,len1,
            { # innere Schleife läuft über source2 :
              var uintD carry =
                muluadd_loop_down(*--sourceptr1,sourceptr2,destptr,len2);
              *--destptr2 = carry; # UDS um das Carry-Digit verlängern
              destptr--;
            });
        }
      else # len1 groß
        # Karatsuba-Multiplikation
        # (ausgelagert, um die eigentliche Multiplikationsfunktion nicht
        # durch zu viele Registervariablen zu belasten):
        mulu_2bigloop_down(sourceptr1,len1,sourceptr2,len2,destptr);
    }
  local void mulu_2bigloop_down(sourceptr1,len1,sourceptr2,len2,destptr)
    var const uintD* sourceptr1;
    var uintC len1;
    var const uintD* sourceptr2;
    var uintC len2;
    var uintD* destptr;
    # Karatsuba-Multiplikation
    # Prinzip: (x1*b^k+x0) * (y1*b^k+y0)
    #        = x1*y1 * b^2k + ((x1+x0)*(y1+y0)-x1*y1-x0*y0) * b^k + x0*y0
    # Methode 1 (Collins/Loos, Degel):
    # source2 wird in floor(len2/len1) einzelne UDS mit je einer
    # Länge len3 (len1 <= len3 < 2*len1) unterteilt,
    # jeweils k=floor(len3/2).
    # Methode 2 (Haible):
    # source2 wird in ceiling(len2/len1) einzelne UDS mit je einer
    # Länge len3 (0 < len3 <= len1) unterteilt, jeweils k=floor(len1/2).
    # Aufwand für die hinteren Einzelteile:
    # bei beiden Methoden jeweils 3*len1^2.
    # Aufwand für das vorderste Teil (alles, falls len1 <= len2 < 2*len1)
    # mit r = len1, s = (len2 mod len1) + len1 (>= len1, < 2*len1):
    # bei Methode 1:
    #                       |   :       |  r
    #                    |      :       |  s
    #      (r-s/2)*s/2 + s/2*s/2 + s/2*s/2 = r*s/2 + s^2/4 .
    # bei Methode 2:
    #                       |     :     |  r
    #                    |  |     :     |  s
    #      (s-r)*r + r/2*r/2 + r/2*r/2 + r/2*r/2 = r*s - r^2/4 .
    # Wegen (r*s/2 + s^2/4) - (r*s - r^2/4) = (r-s)^2/4 >= 0
    # ist Methode 2 günstiger.
    # Denkfehler! Dies gilt - wenn überhaupt - nur knapp oberhalb des
    # Break-Even-Points.
    # Im allgemeinen ist der Multiplikationsaufwand für zwei Zahlen der
    # Längen u bzw. v nämlich gegeben durch  min(u,v)^c * max(u,v),
    # wobei  c = log3/log2 - 1 = 0.585...
    # Dadurch wird der Aufwand in Abhängigkeit des Parameters t = k,
    # r/2 <= t <= s/2 (der einzig sinnvolle Bereich), zu
    # (r-t)^c*(s-t) + t^c*(s-t) + t^(1+c).
    # Dessen Optimum liegt (im Bereich r <= s <= 2*r)
    # - im klassischen Fall c=1 tatsächlich stets bei t=r/2 [Methode 2],
    # - im Karatsuba-Fall c=0.6 aber offenbar bei t=s/2 [Methode 1]
    #   oder ganz knapp darunter.
    # Auch erweist sich Methode 1 im Experiment als effizienter.
    # Daher implementieren wir Methode 1 :
    { # Es ist 2 <= len2 <= len1.
      var bool first_part = true; # Flag, ob jetzt das erste Teilprodukt berechnet wird
      if (len2 >= 2*len1)
        { SAVE_NUM_STACK
          # Teilprodukte von jeweils len1 mal len1 Digits bilden:
          var uintC k_lo = floor(len1,2); # Länge der Low-Teile: floor(len1/2) >0
          var uintC k_hi = len1 - k_lo; # Länge der High-Teile: ceiling(len1/2) >0
          # Es gilt k_lo <= k_hi <= len1, k_lo + k_hi = len1.
          # Summe x1+x0 berechnen:
          var uintD* sum1_MSDptr;
          var uintC sum1_len = k_hi; # = max(k_lo,k_hi)
          var uintD* sum1_LSDptr;
          num_stack_need(sum1_len+1,sum1_MSDptr=,sum1_LSDptr=);
          sum1_MSDptr++; # 1 Digit vorne als Reserve
          {var uintD carry = # Hauptteile von x1 und x0 addieren:
             add_loop_down(&sourceptr1[-(uintP)k_lo],sourceptr1,sum1_LSDptr,k_lo);
           if (!(k_lo==k_hi))
             # noch k_hi-k_lo = 1 Digits abzulegen
             { sum1_MSDptr[0] = sourceptr1[-(uintP)len1]; # = sourceptr1[-2*(uintP)k_lo-1]
               if (!(carry==0)) { if (++(sum1_MSDptr[0]) == 0) carry=1; else carry=0; }
             }
           if (carry) { *--sum1_MSDptr = 1; sum1_len++; }
          }
         {  # Platz für Summe y1+y0 belegen:
            var uintC sum2_maxlen = k_hi+1;
            var uintD* sum2_LSDptr;
            num_stack_need(sum2_maxlen,_EMA_,sum2_LSDptr=);
            # Platz für Produkte x0*y0, x1*y1 belegen:
          { var uintD* prod_MSDptr;
            var uintD* prod_LSDptr;
            var uintD* prodhi_LSDptr;
            num_stack_need(2*(uintL)len1,prod_MSDptr=,prod_LSDptr=);
            prodhi_LSDptr = &prod_LSDptr[-2*(uintP)k_lo];
            # prod_MSDptr/2*len1/prod_LSDptr wird zuerst die beiden
            # Produkte x1*y1 in prod_MSDptr/2*k_hi/prodhi_LSDptr
            #      und x0*y0 in prodhi_LSDptr/2*k_lo/prod_LSDptr,
            # dann das Produkt (b^k*x1+x0)*(b^k*y1+y0) enthalten.
            # Platz fürs Produkt (x1+x0)*(y1+y0) belegen:
           {var uintD* prodmid_MSDptr;
            var uintD* prodmid_LSDptr;
            num_stack_need(sum1_len+sum2_maxlen,prodmid_MSDptr=,prodmid_LSDptr=);
            # Schleife über die hinteren Einzelteile:
            do { # Produkt x0*y0 berechnen:
                 mulu_2loop_down(sourceptr1,k_lo,sourceptr2,k_lo,prod_LSDptr);
                 # Produkt x1*y1 berechnen:
                 mulu_2loop_down(&sourceptr1[-(uintP)k_lo],k_hi,&sourceptr2[-(uintP)k_lo],k_hi,prodhi_LSDptr);
                 # Summe y1+y0 berechnen:
                {var uintC sum2_len = k_hi; # = max(k_lo,k_hi)
                 var uintD* sum2_MSDptr = &sum2_LSDptr[-(uintP)sum2_len];
                 {var uintD carry = # Hauptteile von y1 und y0 addieren:
                    add_loop_down(&sourceptr2[-(uintP)k_lo],sourceptr2,sum2_LSDptr,k_lo);
                  if (!(k_lo==k_hi))
                    # noch k_hi-k_lo = 1 Digits abzulegen
                    { sum2_MSDptr[0] = sourceptr2[-(uintP)len1]; # = sourceptr2[-2*(uintP)k_lo-1]
                      if (!(carry==0)) { if (++(sum2_MSDptr[0]) == 0) carry=1; else carry=0; }
                    }
                  if (carry) { *--sum2_MSDptr = 1; sum2_len++; }
                 }
                 # Produkt (x1+x0)*(y1+y0) berechnen:
                 mulu_2loop_down(sum1_LSDptr,sum1_len,sum2_LSDptr,sum2_len,prodmid_LSDptr);
                 # Das Produkt beansprucht  2*k_hi + (0 oder 1) <= sum1_len + sum2_len  Digits.
                 {var uintC prodmid_len = sum1_len+sum2_len;
                  # Davon x1*y1 abziehen:
                  {var uintD carry =
                     subfrom_loop_down(prodhi_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_hi);
                   # Falls Carry: Produkt beansprucht 2*k_hi+1 Digits.
                   # Carry um maximal 1 Digit weitertragen:
                   if (!(carry==0)) { prodmid_LSDptr[-2*(uintP)k_hi-1] -= 1; }
                  }
                  # Und x0*y0 abziehen:
                  {var uintD carry =
                     subfrom_loop_down(prod_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_lo);
                   # Carry um maximal prodmid_len-2*k_lo Digits weitertragen:
                   if (!(carry==0))
                     { dec_loop_down(&prodmid_LSDptr[-2*(uintP)k_lo],prodmid_len-2*k_lo); }
                  }
                  # prodmid_LSDptr[-prodmid_len..-1] enthält nun x0*y1+x1*y0.
                  # Dies wird zu prod = x1*y1*b^(2*k) + x0*y0 addiert:
                  {var uintD carry =
                     addto_loop_down(prodmid_LSDptr,&prod_LSDptr[-(uintP)k_lo],prodmid_len);
                     # (Benutze dabei k_lo+prodmid_len <= k_lo+2*(k_hi+1) = 2*len1-k_lo+2 <= 2*len1 .)
                   if (!(carry==0))
                     { inc_loop_down(&prod_LSDptr[-(uintP)(k_lo+prodmid_len)],2*len1-(k_lo+prodmid_len)); }
                }}}
                 # Das Teilprodukt zum Gesamtprodukt addieren:
                 if (first_part)
                   { copy_loop_down(prod_LSDptr,destptr,2*len1);
                     destptr -= len1;
                     first_part = false;
                   }
                   else
                   { var uintD carry =
                       addto_loop_down(prod_LSDptr,destptr,len1);
                     destptr -= len1;
                     copy_loop_down(&prod_LSDptr[-(uintP)len1],destptr,len1);
                     if (!(carry==0)) { inc_loop_down(destptr,len1); }
                   }
                 sourceptr2 -= len1; len2 -= len1;
               }
               while (len2 >= 2*len1);
         }}}
         RESTORE_NUM_STACK
        }
      # Nun ist len1 <= len2 < 2*len1.
      # letztes Teilprodukt von len1 mal len2 Digits bilden:
     {SAVE_NUM_STACK
      var uintD* prod_MSDptr;
      var uintC prod_len = len1+len2;
      var uintD* prod_LSDptr;
      num_stack_need((uintL)prod_len,prod_MSDptr=,prod_LSDptr=);
      { var uintC k_hi = floor(len2,2); # Länge der High-Teile: floor(len2/2) >0
        var uintC k_lo = len2 - k_hi; # Länge der Low-Teile: ceiling(len2/2) >0
        # Es gilt k_hi <= k_lo <= len1 <= len2, k_lo + k_hi = len2.
        var uintC x1_len = len1-k_lo; # <= len2-k_lo = k_hi <= k_lo
        # Summe x1+x0 berechnen:
        var uintD* sum1_MSDptr;
        var uintC sum1_len = k_lo; # = max(k_lo,k_hi)
        var uintD* sum1_LSDptr;
        num_stack_need(sum1_len+1,sum1_MSDptr=,sum1_LSDptr=);
        sum1_MSDptr++; # 1 Digit vorne als Reserve
        {var uintD carry = # x1 und unteren Teil von x0 addieren:
           add_loop_down(&sourceptr1[-(uintP)k_lo],sourceptr1,sum1_LSDptr,x1_len);
         # und den oberen Teil von x0 dazu:
         copy_loop_down(&sourceptr1[-(uintP)x1_len],&sum1_LSDptr[-(uintP)x1_len],k_lo-x1_len);
         if (!(carry==0))
           { carry = inc_loop_down(&sum1_LSDptr[-(uintP)x1_len],k_lo-x1_len);
             if (carry) { *--sum1_MSDptr = 1; sum1_len++; }
           }
        }
       {# Summe y1+y0 berechnen:
        var uintD* sum2_MSDptr;
        var uintC sum2_len = k_lo; # = max(k_lo,k_hi)
        var uintD* sum2_LSDptr;
        num_stack_need(sum2_len+1,sum2_MSDptr=,sum2_LSDptr=);
        sum2_MSDptr++; # 1 Digit vorne als Reserve
        {var uintD carry = # Hauptteile von y1 und y0 addieren:
           add_loop_down(&sourceptr2[-(uintP)k_lo],sourceptr2,sum2_LSDptr,k_hi);
         if (!(k_lo==k_hi))
           # noch k_lo-k_hi = 1 Digits abzulegen
           { sum2_MSDptr[0] = sourceptr2[-(uintP)k_lo]; # = sourceptr2[-(uintP)k_hi-1]
             if (!(carry==0)) { if (++(sum2_MSDptr[0]) == 0) carry=1; else carry=0; }
           }
         if (carry) { *--sum2_MSDptr = 1; sum2_len++; }
        }
        # Platz für Produkte x0*y0, x1*y1:
        { var uintC prodhi_len = x1_len+k_hi;
          var uintD* prodhi_LSDptr = &prod_LSDptr[-2*(uintP)k_lo];
          # prod_MSDptr/len1+len2/prod_LSDptr wird zuerst die beiden
          # Produkte x1*y1 in prod_MSDptr/x1_len+k_hi/prodhi_LSDptr
          #      und x0*y0 in prodhi_LSDptr/2*k_lo/prod_LSDptr,
          # dann das Produkt (b^k*x1+x0)*(b^k*y1+y0) enthalten.
          # Platz fürs Produkt (x1+x0)*(y1+y0) belegen:
         {var uintD* prodmid_MSDptr;
          var uintC prodmid_len = sum1_len+sum2_len;
          var uintD* prodmid_LSDptr;
          num_stack_need(prodmid_len,prodmid_MSDptr=,prodmid_LSDptr=);
          # Produkt (x1+x0)*(y1+y0) berechnen:
          mulu_2loop_down(sum1_LSDptr,sum1_len,sum2_LSDptr,sum2_len,prodmid_LSDptr);
          # Das Produkt beansprucht  2*k_lo + (0 oder 1) <= sum1_len + sum2_len = prodmid_len  Digits.
          # Produkt x0*y0 berechnen:
          mulu_2loop_down(sourceptr1,k_lo,sourceptr2,k_lo,prod_LSDptr);
          # Produkt x1*y1 berechnen:
          if (!(x1_len==0))
            { mulu_2loop_down(&sourceptr1[-(uintP)k_lo],x1_len,&sourceptr2[-(uintP)k_lo],k_hi,prodhi_LSDptr);
             # Und x1*y1 abziehen:
             {var uintD carry =
                subfrom_loop_down(prodhi_LSDptr,prodmid_LSDptr,prodhi_len);
              # Carry um maximal prodmid_len-prodhi_len Digits weitertragen:
              if (!(carry==0))
                { dec_loop_down(&prodmid_LSDptr[-(uintP)prodhi_len],prodmid_len-prodhi_len); }
            }}
            else
            # Produkt x1*y1=0, nichts abzuziehen
            { clear_loop_down(prodhi_LSDptr,prodhi_len); }
          # Und x0*y0 abziehen:
          {var uintD carry =
             subfrom_loop_down(prod_LSDptr,prodmid_LSDptr,2*k_lo);
           # Falls Carry: Produkt beansprucht 2*k_lo+1 Digits.
           # Carry um maximal 1 Digit weitertragen:
           if (!(carry==0)) { prodmid_LSDptr[-2*(uintP)k_lo-1] -= 1; }
          }
          # prodmid_LSDptr[-prodmid_len..-1] enthält nun x0*y1+x1*y0.
          # Dies ist < b^k_lo * b^k_hi + b^x1_len * b^k_lo
          #          = b^len2 + b^len1 <= 2 * b^len2,
          # passt also in len2+1 Digits.
          # Im Fall x1_len=0 ist es sogar < b^k_lo * b^k_hi = b^len2,
          # es passt also in len2 Digits.
          # prodmid_len, wenn möglich, um maximal 2 verkleinern:
          # (benutzt prodmid_len >= 2*k_lo >= len2 >= 2)
          if (prodmid_MSDptr[0]==0)
            { prodmid_len--;
              if (prodmid_MSDptr[1]==0) { prodmid_len--; }
            }
          # Nun ist k_lo+prodmid_len <= len1+len2 .
          # (Denn es war prodmid_len = sum1_len+sum2_len <= 2*(k_lo+1)
          #  <= len2+3, und nach 2-maliger Verkleinerung jedenfalls
          #  prodmid_len <= len2+1. Im Falle k_lo < len1 also
          #  k_lo + prodmid_len <= (len1-1)+(len2+1) = len1+len2.
          #  Im Falle k_lo = len1 aber ist x1_len=0, sum1_len = k_lo, also
          #  war prodmid_len = sum1_len+sum2_len <= 2*k_lo+1 <= len2+2,
          #  nach 2-maliger Verkleinerung jedenfalls prodmid_len <= len2.)
          # prodmid*b^k = (x0*y1+x1*y0)*b^k zu prod = x1*y1*b^(2*k) + x0*y0 addieren:
          {var uintD carry =
             addto_loop_down(prodmid_LSDptr,&prod_LSDptr[-(uintP)k_lo],prodmid_len);
           if (!(carry==0))
             { inc_loop_down(&prod_LSDptr[-(uintP)(k_lo+prodmid_len)],prod_len-(k_lo+prodmid_len)); }
      }}}}}
      # Das Teilprodukt zum Gesamtprodukt addieren:
      if (first_part)
        { copy_loop_down(prod_LSDptr,destptr,prod_len); }
        else
        { var uintD carry =
            addto_loop_down(prod_LSDptr,destptr,len1);
          destptr -= len1;
          copy_loop_down(&prod_LSDptr[-(uintP)len1],destptr,len2);
          if (!(carry==0)) { inc_loop_down(destptr,len2); }
        }
      RESTORE_NUM_STACK
    }}

# Multipliziert zwei Digit-sequences.
# DS_DS_mal_DS(MSDptr1,len1,LSDptr1, MSDptr2,len2,LSDptr2, MSDptr=,len=,LSDptr=);
# multipliziert die DS MSDptr1/len1/LSDptr1 und MSDptr2/len2/LSDptr2.
# Dabei sollte len1>0 und len2>0 sein. Alles sollten Variablen sein!
# Ergebnis ist die DS MSDptr/len/LSDptr, mit len=len1+len2, im Stack.
# Dabei wird num_stack erniedrigt.
  # Methode:
  # Erst unsigned multiplizieren. Dann bis zu zwei Subtraktionen.
  # Sei b=2^intDsize, k=len1, l=len2, n=DS1, m=DS2.
  # Gesucht ist n * m.
  # Wir errechnen erst das unsigned-product p (mod b^(k+l)).
  # n>0, m>0: p = n*m,             n*m = p
  # n<0, m>0: p = (n+b^k)*m,       n*m + b^(k+l) = p - b^k * m (mod b^(k+l)).
  # n>0, m<0: p = n*(m+b^l),       n*m + b^(k+l) = p - b^l * n (mod b^(k+l)).
  # n<0, m<0: p = (n+b^k)*(m+b^l),
  #           n*m = p - b^k * (m+b^l) - b^l * (n+b^k) (mod b^(k+l)).
  #define DS_DS_mal_DS(MSDptr1,len1,LSDptr1,MSDptr2,len2,LSDptr2, MSDptr_zuweisung,len_zuweisung,LSDptr_zuweisung)  \
    { var uintD* LSDptr0;                                           \
      UDS_UDS_mal_UDS(len1,LSDptr1,len2,LSDptr2, MSDptr_zuweisung,len_zuweisung,LSDptr_zuweisung LSDptr0 = ); \
      if ((sintD)(MSDptr1[0]) < 0) # n<0 ?                          \
        # muss m bzw. m+b^l subtrahieren, um k Digits verschoben:   \
        { subfrom_loop_down(LSDptr2,&LSDptr0[-(uintP)len1],len2); } \
      if ((sintD)(MSDptr2[0]) < 0) # m<0 ?                          \
        # muss n bzw. n+b^k subtrahieren, um l Digits verschoben:   \
        { subfrom_loop_down(LSDptr1,&LSDptr0[-(uintP)len2],len1); } \
    }

# (* x y), wo x und y Integers sind. Ergebnis Integer.
# can trigger GC
  # Methode:
  # x=0 oder y=0 -> Ergebnis 0
  # x und y beide Fixnums -> direkt multiplizieren
  # sonst: zu WS machen, multiplizieren.
  local object I_I_mal_I (object x, object y);
  local object I_I_mal_I(x,y)
    var object x;
    var object y;
    { if (eq(x,Fixnum_0) || eq(y,Fixnum_0))
        { return Fixnum_0; }
      if (I_fixnump(x) && I_fixnump(y))
        { var sint32 x_ = FN_to_L(x);
          var sint32 y_ = FN_to_L(y);
         #if (oint_data_len+1 > intLsize)
          # nur falls x und y Integers mit höchstens 32 Bit sind:
          if ((((sint32)FN_sign(x) ^ x_) >= 0) && (((sint32)FN_sign(y) ^ y_) >= 0))
         #endif
         {# Werte direkt multiplizieren:
          var uint32 hi;
          var uint32 lo;
          mulu32((uint32)x_,(uint32)y_,hi=,lo=); # erst unsigned multiplizieren
          if (x_ < 0) { hi -= (uint32)y_; } # dann Korrektur für Vorzeichen
          if (y_ < 0) { hi -= (uint32)x_; } # (vgl. DS_DS_mal_DS)
          return L2_to_I(hi,lo);
        }}
     {var uintD* xMSDptr;
      var uintC xlen;
      var uintD* xLSDptr;
      I_to_NDS_nocopy(x, xMSDptr = , xlen = , xLSDptr = );
      {var uintD* yMSDptr;
       var uintC ylen;
       var uintD* yLSDptr;
       I_to_NDS_nocopy(y, yMSDptr = , ylen = , yLSDptr = );
       {SAVE_NUM_STACK # num_stack retten
        var uintD* ergMSDptr;
        var uintC erglen;
        begin_arith_call();
        DS_DS_mal_DS(xMSDptr,xlen,xLSDptr,yMSDptr,ylen,yLSDptr, ergMSDptr=,erglen=,);
        end_arith_call();
        {var object result = DS_to_I(ergMSDptr,erglen);
         RESTORE_NUM_STACK # num_stack zurück
         return result;
    }}}}}

# (EXPT x y), wo x Integer, y Integer >0 ist.
# can trigger GC
  # Methode:
  #   a:=x, b:=y, c:=1. [a^b*c bleibt invariant, = x^y.]
  #   Solange b>1,
  #     falls b ungerade, setze c:=a*c,
  #     setze b:=floor(b/2),
  #     setze a:=a*a.
  #   Wenn b=1, setze c:=a*c.
  #   Liefere c.
  # Oder optimiert:
  #   a:=x, b:=y.
  #   Solange b gerade, setze a:=a*a, b:=b/2. [a^b bleibt invariant, = x^y.]
  #   c:=a.
  #   Solange b:=floor(b/2) >0 ist,
  #     setze a:=a*a, und falls b ungerade, setze c:=a*c.
  #   Liefere c.
  local object I_I_expt_I (object x, object y);
  #if 0 # unoptimiert
  local object I_I_expt_I(x,y)
    var object x;
    var object y;
    { pushSTACK(x); pushSTACK(Fixnum_1); pushSTACK(y);
      # Stackaufbau: a, c, b.
      until (eq(STACK_0,Fixnum_1)) # solange bis b=1
        { if (I_oddp(STACK_0)) # b ungerade?
            { STACK_1 = I_I_mal_I(STACK_2,STACK_1); } # c:=a*c
          STACK_0 = I_I_ash_I(STACK_0,Fixnum_minus1); # b := (ash b -1) = (floor b 2)
          STACK_2 = I_square_I(STACK_2); # a:=a*a
        }
      skipSTACK(1);
     {var object c = popSTACK();
      var object a = popSTACK();
      return I_I_mal_I(a,c); # a*c als Ergebnis
    }}
  #else # optimiert
  local object I_I_expt_I(x,y)
    var object x;
    var object y;
    { pushSTACK(x); pushSTACK(y);
      # Stackaufbau: a, b.
      while (!I_oddp(y))
        { STACK_1 = I_square_I(STACK_1); # a:=a*a
          STACK_0 = y = I_I_ash_I(STACK_0,Fixnum_minus1); # b := (ash b -1)
        }
      pushSTACK(STACK_1); # c:=a
      # Stackaufbau: a, b, c.
      until (eq(y=STACK_1,Fixnum_1)) # Solange b/=1
        { STACK_1 = I_I_ash_I(y,Fixnum_minus1); # b := (ash b -1)
         {var object a = STACK_2 = I_square_I(STACK_2); # a:=a*a
          if (I_oddp(STACK_1)) { STACK_0 = I_I_mal_I(a,STACK_0); } # evtl. c:=a*c
        }}
      {var object erg = STACK_0; skipSTACK(3); return erg; }
    }
  #endif

# Fakultät (! n), wo n Fixnum >=0 ist. Ergebnis Integer.
# can trigger GC
  # Methode:
  # n <= 10 -> Ergebnis (Fixnum) aus Tabelle
  # Sonst:
  #   Zweierpotenzen extra am Schluss durch einen Shift um
  #   ord2(n!) = sum(k>=1, floor(n/2^k) ) = n - logcount(n)  Bits.
  #   Für k>=1 wird jede ungerade Zahl m im Intervall n/2^k < m <= n/2^(k-1)
  #   genau k mal gebraucht (als ungerader Anteil von m*2^0,...,m*2^(k-1) ).
  #   Zur Bestimmung des Produkts aller ungeraden Zahlen in einem Intervall
  #   a < m <= b verwenden wir eine rekursive Funktion, die nach Divide-and-
  #   Conquer das Produkt über die Intervalle a < m <= c und c < m <= b
  #   (c := floor((a+b)/2)) bestimmt und beide zusammenmultipliziert. Dies
  #   vermeidet, dass oft große Zahlen mit ganz kleinen Zahlen multipliziert
  #   werden.
  local object FN_fak_I (object n);
  # UP für Fakultät:
  # Bilde das Produkt prod(a < i <= b, 2*i+1), wobei 0 <= a < b klein.
    local object prod_ungerade (uintL a, uintL b);
    local object prod_ungerade(a,b)
      var uintL a;
      var uintL b;
      { var uintL diff = b-a; # Anzahl der Faktoren
        if (diff <= 4)
          # Produkt iterativ bilden
          { var object faktor = fixnum(2*b+1); # 2*b+1 als letzter Faktor
            var object produkt = faktor;
            var uintC count;
            dotimesC(count,diff-1,
              { faktor = fixnum_inc(faktor,-2); # nächster Faktor
                produkt = I_I_mal_I(faktor,produkt); # mit bisherigem Produkt multiplizieren
              });
            return produkt;
          }
          else
          # Produkt rekursiv bilden
          { var uintL c = floor(a+b,2); # c:=floor((a+b)/2)
            var object teil = prod_ungerade(a,c); # erstes Teilprodukt
            pushSTACK(teil);
            teil = prod_ungerade(c,b); # zweites Teilprodukt
            return I_I_mal_I(popSTACK(),teil); # und beide multiplizieren
          }
      }
  local object FN_fak_I(n)
    var object n;
    { local var const object fakul_table [] = {
        Fixnum_1,
        fixnum(1UL),
        fixnum(1UL*2),
        #if (oint_data_len>=3)
        fixnum(1UL*2*3),
        #if (oint_data_len>=5)
        fixnum(1UL*2*3*4),
        #if (oint_data_len>=7)
        fixnum(1UL*2*3*4*5),
        #if (oint_data_len>=10)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6),
        #if (oint_data_len>=13)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6*7),
        #if (oint_data_len>=16)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6*7*8),
        #if (oint_data_len>=19)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6*7*8*9),
        #if (oint_data_len>=22)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6*7*8*9*10),
        #if (oint_data_len>=26)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11),
        #if (oint_data_len>=29)
        fixnum(1UL*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12),
        #if (oint_data_len>=33)
        ...
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        #endif
        };
      var uintL n_ = posfixnum_to_L(n);
      if (n_ < sizeof(fakul_table)/sizeof(object))
        { return fakul_table[n_]; }
        else
        { pushSTACK(Fixnum_1); # bisheriges Produkt := 1
          pushSTACK(n);        # n
          pushSTACK(Fixnum_1); # k := 1
          pushSTACK(n);        # obere Intervallgrenze floor(n/2^(k-1))
          loop
            { # Stackaufbau: prod, n, k, floor(n/2^(k-1)).
              # 'n' enthält floor(n/2^(k-1)).
              n = I_I_ash_I(n,Fixnum_minus1); # untere Grenze floor(n/2^k)
              # 'n' enthält floor(n/2^k).
              # Bilde Teilprodukt prod(A < i <= B & oddp(i), i)
              #       = prod(floor((A-1)/2) < i <= floor((B-1)/2), 2*i+1)
              # wobei B = floor(n/2^(k-1)), A = floor(n/2^k) = floor(B/2).
              { var uintL b = floor(posfixnum_to_L(STACK_0)-1,2);
                if (b==0) break; # B=2 oder B=1 -> Produkt fertig
               {var uintL a = floor(posfixnum_to_L(n)-1,2);
                pushSTACK(n);
                {var object temp = prod_ungerade(a,b);
                 temp = I_I_expt_I(temp,STACK_2); # hoch k nehmen
                 STACK_4 = I_I_mal_I(temp,STACK_4); # und aufmultiplizieren
              }}}
              STACK_2 = fixnum_inc(STACK_2,1); # k:=k+1
              n = popSTACK(); STACK_0 = n;
            }
          skipSTACK(2);
          # Stackaufbau: prod, n.
         {var object temp = I_logcount_I(STACK_0); # (logcount n)
          temp = I_I_minus_I(popSTACK(),temp); # (- n (logcount n))
          return I_I_ash_I(popSTACK(),temp); # (ash prod (- n (logcount n)))
        }}
    }

